民間機関にも捜索を依頼しようと思っているのですが、かかった費用は保険金支払いの対象となりますか？

はい、救助隊がどの組織であるか、また、公的・民間機関に関わらずお支払いの対象となります。お支払いする条件、内容や限度額等については以下の保険約款をご覧ください。
https://yamap.com/insurance/download/agreement